Простых чисел Мерсенна стало ровно 50

16:11 12/01/2018
Жители Швейцарии проголосовали за оплату налогов
ФОТО : «Мир 24» / Алан Кациев (МТРК «Мир»)

В декабре прошлого года 51-летний Джонатан Пейс, инженер-электромеханик из американского штата Теннесси обнаружил 50-е простое число из ряда так называемых чисел Мерсенна. Новое простое число в десятичной записи содержит 23 249 425 цифр. Заметим, что в романе «Война и мир» всего около 3,1 миллиона символов. Число, открытое Пейсом, составляет примерно восемь таких романов.

Почему математический мир охвачен ажиотажем по этому поводу, зачем нужны числа Мерсенна и как их используют в повседневной жизни, корреспонденту «МИР 24» рассказал кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей геометрии и топологии механико-математического факультета МГУ Дмитрий Миллионщиков.

Что такое простое число?


Оно действительно очень простое, потому что делится только на единицу и на самого себя. 2,3, 5,7 – это самые первые простые числа. Но дальше все начинает усложняться. Еще Эвклид в  своих «Началах» доказал, что таких чисел бесконечное множество и самое большое найти просто нельзя. 

Проблема в том, что большое простое число очень трудно найти. Список таких чисел веками расширялся методом проб и ошибок. Интерес к ним, то затухал, то разгорался вновь. Новый взрыв интереса произошел в 17 веке благодаря Марену Мерсенну, францисканскому монаху, теологу и математику, другу великого Рене Декарта. Как и многие математики той эпохи, он всю жизнь занимался поиском совершенных чисел, то есть таких чисел, которые представляют собой сумму всех своих делителей (самым маленьким совершенным числом является число 6=2+3+1). Однако однажды Мерсенн заинтересовался числами другого вида. Это были степени двойки, уменьшенные на единицу. Например, 2 в степени 1 — 1 = 1; 2 в степени 2 - 1 = 3, 2 в степени 3 – 1 = 7. Первые три числа, полученные по этой формуле, оказались простыми, но уже четвертое (2 в степени 4=15) было составным. Мерсенну стало любопытно, как распределяются простые и составные числа в этой последовательности.

В 1648 году Мерсенн выпустил загадочный труд Cogitata Physica-Mathematica. В этой работе, не особенно утруждая себя доказательствами, он предположил, что двойка в степенях 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257, уменьшенная на единицу, обязательно даст в результате простое число. Все остальные числа, рассчитанные по этой формуле, будут составными. Почему он так решил – непонятно. Мерсенн и сам не настаивал на своей гипотезе. Однако после его смерти она стала необычайно популярна. С тех пор простые числа такого вида стали называться числами Мерсенна, а его формула – популярной для определения новых больших простых чисел. Числа Мерсенна встречаются очень редко, и пока неизвестно, есть ли какая-то зависимость между номером числа Мерсенна и его величиной. Если такая зависимость есть, она заметно ускорит поиск новых больших простых чисел. Но главной загадкой по-прежнему остается вопрос, конечен ли ряд чисел Мерсенна.

Эпоха компьютерных технологий вернула интерес к поиску большого простого числа. Двое американских школьников – Лаура Никел и Лэндон Нолл -  в конце 70-х обнаружили 25-е простое число Мерсенна, используя мощный по тем временам компьютер. Степень, в которую надо было возвести двойку, оказалась равна 21 701. На тот момент это было самое большое простое число. Впрочем, чуть позже Нолл уже в одиночку открыл и следующее, 26-е число. Успех школьников подтвердил, что в компьютерную эпоху добывать простые числа могут не только великие математики.

Кто и зачем ищет простые числа?


С этого момента охотиться за большими простыми числами принялись не только профессионалы, но и энтузиасты. В 1995 году был создан специальный проект распределенных вычислений GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search), к которому может подключиться любой желающий. Для этого достаточно бесплатно скачать на свой компьютер программу с сайта GIMPS. Таких добровольцев сегодня тысячи. По большей части «охотниками» движет спортивный интерес, но если вдруг новое число будет обнаружено, автора ждет слава и приз в три тысячи долларов.

«ВКонтакте» урезал музыку

Джонатан Пейс, один из участников проекта GIMPS, гонялся за своим числом 14 лет. Впрочем, его коллегу профессора университета Теннесси Криса Колуэлла, удивляет не длительность поиска, а его быстрота: «Удивительно, что мы сумели найти новое число так быстро. Мы думали, что это займет больше времени. Это то же самое, что наткнуться сразу на двух мертвых кошек – вас удивит, что они могут находиться так близко друг к другу», – сказал профессор. Кстати, степень двойки в найденном Пейсом 50-м простом числе Мерсенна составляет 77232917.

После объявления о находке нового простого числа, требуется провести проверку. Доказательство «простоты» – дело не простое. Оно требует больших компьютерных мощностей и занимает несколько дней. Число Джонатана Пейса проверку уже прошло и признано научным сообществом. О том, что сейчас испытывает Пейс, пытается представить Дмитрий Миллионщиков.

«Все это напоминает мне фильм «Безымянная звезда». Там главный герой – школьный учитель, увлеченный астрономией. Он сидит в своем маленьком городке, смотрит каждую ночь в телескоп на небо и ищет новые звезды. Это главный смысл его жизни. И вот однажды он находит звезду, которой нет ни в одном атласе. Думаю, что сейчас Джонатан Пейс счастлив так же, как этот герой. Можно вспомнить и математика Перельмана, который отказался от премии в миллион долларов. Этот поступок поняли только математики. Для них открытия очень часто важнее наград и денег. При этом они прекрасно понимают, что решают не обязательно какую-то важную для человечества задачу. Просто эта задача кажется им интересной и удивительно красивой», – говорит Миллионщиков.

Практическая значимость больших простых чисел волнует, конечно, не всех энтузиастов проекта. Однако это не значит, что ее нет. Она есть, да еще какая. Случайнык очень большие простые числа лежат в основе всей современной криптографии – науки о шифрах и способах сохранения конфиденциальности информации.

«С современной системой криптографии мы сталкиваемся каждый день – набираем логины, пароли, используем банковские карты, – объясняет Миллионщиков, – Все системы шифрования достаточно сложны, но в их основе как правило лежат очень очень большие простые числа».

Исследования в этой области вызывают все больший интерес, поскольку взлом данных стал насущной проблемой современности. Поэтому число, найденное мистером Пейсом, и вызвало такой ажиотаж в научном и компьютерном мире. Ведь это самое большое простое число из известных человечеству можно теперь использовать при проверке надежности современных криптографических систем. А методам вычислений, использованным при его поиске и проверке простоты, просто гарантировано огромное будущее. И вполне вероятно, что кто-то из нас, набрав в один прекрасный день пинкод своей карты в банкомате, отправит тем самым шифрованный запрос на сервер банка, ключом к которому и станет 50-е число Мерсенна, найденное инженером-электромехаником Джонатаном Пейсом.

Алла Смирнова, Ольга Андреева